Enoncé :
On a 2007 interrupteurs en position éteinte. On commence par actionner tous les multiples de 1, on a alors tous les interrupteurs d'allumés, on actionne ensuite tous les multiples de 2, puis tous les multiples de 3, puis de 4... jusqu'au 2007
Question :
A la fin des manipulations, combien y aura-t-il d'interrupteurs allumés?
PS : Il m'a fallu 20 minutes pour touver et démontrer la solution, j'invite au resto la première personne qui trouvera.
Et bien, ce problème a en effet été trouvé par Alice dans un temps très honorable.
Toutes mes félicitations.
Voici le mail que m'a envoyé Guillaume Moisan, mail ou il explique la démonstration complète du "petit problème"(cf plus bas), un mec brillant... mes respects
Salut mon chtit PO
En ce jeudi aprèm, alors que m'assaille une vague d'oisiveté toute particulière et que l'on pourrait qualifier de pré-vacationelle puisqu'elle est une constante chez moi à cette période de l'année, je traînasse sur msn à la recherche d'une compagnie virtuelle intéressante qui me permettrait quelque enrichissement intellectuel. Malheureusement, si l'on excepte les quelques zonards encore en vacances et autre éternels absents connectés en permanence, je ne trouve personne à qui consacrer cet apres-midi qui s'annonce plus qu'intéressant. Je décide alors de faire un tour sur ces délires d'adolescents narcissiques en manque de personnalité et frivoles, j'ai nommé les skyblog. Apres quelques minutes à regarder défiler un ramassis de conneries de jeunes filles à la stupidité exacerbée (sans exagérer " voila mn mec il est pas tro bôôôô" ou " ca c Lea ma meilleure copine on delire tp tmtc kikoo lol ptdr"), je commence a tomber en désuétude devant la vacuité de ces gens qui peuplent cette magnifique fenêtre de mon Windows Live Messenger. C'est à ce moment que je repère le mot Vercoquin... Boris Vian, j'ai peut être une chance de voir enfin quelque chose écrit avec des mots en entier et des phrases avec un verbe autre que être, avoir ou kiffer. Ma première impression fut de voir que ce blog présentait ce qu'on appelle des articles, c'est à dire un écrit touchant un thème précis, rapportant ou non les opinions de son auteur. Je découvre alors avec grand plaisir un style d'écriture percutant et élaboré, en particulier sur les aricles "les entreprises amoureuses" ou "un brin de fiction" encore jamais vu sur un skyblog trouvé dans ma liste de contacts (et bien sûr, aucune remise en cause de mes fréquentations possibles). Je suis alors tombé sur cette petite énigme qui a attiré mon attention, et, chose très rare et à laquelle j'ai du mal à croire moi-même, réveillé mon esprit assoupi pour le lancer dans un début de réflexion. Je te fais donc part de ma solution, en attendant ton approbation pour vérifier sa validité :
Je te fais part du cheminement de mon raisonnement, peut-être assez peu académique, mais qui m'a permis de trouver une solution en environ une demi heure rédaction non-comprise :
J'ai tout d'abord commencé par me poser la question suivante : quelles conditions doivent êtres réunies pour qu'un interrupteur soit allumé? Assez rapidement, je déduis que, pour qu'un interrupteur soit allumé, il doit avoir été actionné un nombre impair de fois, il doit donc avoir un nombre impair de diviseurs. En procédant à quelques calculs rapides, je me rends compte que c'est le cas des nombres : 1, 4, 9, 16 etc... Il s'agit de carrées parfaits, la solution s'imposait à moi, encore fallait-il la démontrer...
J'ai donc cherché une méthode pour déterminer le nombre de diviseurs qu'un nombre pouvait avoir, faisant appel mes souvenirs de 3e. J'ai donc utilisé la décomposition en facteurs premiers et trouvé une méthode générale pour trouver le nombre de diviseurs d'un nombre en utilisant un raisonnement par induction, c'est à dire comme tu le sais sûrement que je suis parti du particulier vers le général. J'ai alors utilisé le nombre 2007 que j'ai décomposé en facteurs premiers cela donne : 2007 = 9 * 223 = 3² * 223. A partir de la, j'ai cherché le nombre de diviseurs que pouvait avoir 2007. 3² a pour diviseurs 1, 3 et son carré, et 223, nombre premier, a pour diviseurs un et lui-même. Donc, si on considère n le nombre de diviseurs, n(2007) = nombre de diviseurs de 3² *nombre de diviseurs de 223 = 3*2 = 6. (2007 n'est donc pas allumé, ce qui valide d'ailleurs mon hypothèse départ puisqu'il ne s'agit pas d'un carré parfait). Je déduis alors que le nombre de diviseurs est n = (exposant 1 +1)* (exposant 2 + 1)*...(exposant k +1).
Puis, j'ai cherché quelles étaient les conditions pour que le produit (exposant 1 +1)* (exposant 2 + 2)*...(exposant k +1) soit impair. Pour qu'un produit soit impair, il faut que tous ses termes le soient et , sachant que l'on ajoutait un a chaque terme, j'en ai déduit que tous les exposants devaient être pairs. On peut donc écrire n sous la forme :
Les exposants sont donc tous de la forme 2n. Si l'on a on nombre décomposé en facteurs premiers de cette facon:
x = a^2k * b^2m * c^2n... on peu alors factoriser les puissances : x = (a^k * b^m * c^n ...)². Le nombre doit donc bien être un carré parfait.
Il nous reste alors une dernière chose à faire, calculer le nombre de carrés parfaits entre 1 et 2007. Pour cela, on calcule la racine de 2007 et on arrondit à l'unité inférieure. La racine étant de 44.8 environ, on a 44 carrés parfaits entre 1 et 2007.
On a donc 44 interrupteurs allumés.
Voila, c'est fait, j'ai cru comprendre que tu invitais au restau celui qui trouvait, j'en serais ravi (non, le quick ça compte pas, je veux un dîner romantique mon coquinou).
Bonne apres midi,
Gui
Guillaume, je te présente mes respects, tu as toute mon admiration...
On a 2007 interrupteurs en position éteinte. On commence par actionner tous les multiples de 1, on a alors tous les interrupteurs d'allumés, on actionne ensuite tous les multiples de 2, puis tous les multiples de 3, puis de 4... jusqu'au 2007
Question :
A la fin des manipulations, combien y aura-t-il d'interrupteurs allumés?
PS : Il m'a fallu 20 minutes pour touver et démontrer la solution, j'invite au resto la première personne qui trouvera.
Et bien, ce problème a en effet été trouvé par Alice dans un temps très honorable.
Toutes mes félicitations.
Voici le mail que m'a envoyé Guillaume Moisan, mail ou il explique la démonstration complète du "petit problème"(cf plus bas), un mec brillant... mes respects
Salut mon chtit PO
En ce jeudi aprèm, alors que m'assaille une vague d'oisiveté toute particulière et que l'on pourrait qualifier de pré-vacationelle puisqu'elle est une constante chez moi à cette période de l'année, je traînasse sur msn à la recherche d'une compagnie virtuelle intéressante qui me permettrait quelque enrichissement intellectuel. Malheureusement, si l'on excepte les quelques zonards encore en vacances et autre éternels absents connectés en permanence, je ne trouve personne à qui consacrer cet apres-midi qui s'annonce plus qu'intéressant. Je décide alors de faire un tour sur ces délires d'adolescents narcissiques en manque de personnalité et frivoles, j'ai nommé les skyblog. Apres quelques minutes à regarder défiler un ramassis de conneries de jeunes filles à la stupidité exacerbée (sans exagérer " voila mn mec il est pas tro bôôôô" ou " ca c Lea ma meilleure copine on delire tp tmtc kikoo lol ptdr"), je commence a tomber en désuétude devant la vacuité de ces gens qui peuplent cette magnifique fenêtre de mon Windows Live Messenger. C'est à ce moment que je repère le mot Vercoquin... Boris Vian, j'ai peut être une chance de voir enfin quelque chose écrit avec des mots en entier et des phrases avec un verbe autre que être, avoir ou kiffer. Ma première impression fut de voir que ce blog présentait ce qu'on appelle des articles, c'est à dire un écrit touchant un thème précis, rapportant ou non les opinions de son auteur. Je découvre alors avec grand plaisir un style d'écriture percutant et élaboré, en particulier sur les aricles "les entreprises amoureuses" ou "un brin de fiction" encore jamais vu sur un skyblog trouvé dans ma liste de contacts (et bien sûr, aucune remise en cause de mes fréquentations possibles). Je suis alors tombé sur cette petite énigme qui a attiré mon attention, et, chose très rare et à laquelle j'ai du mal à croire moi-même, réveillé mon esprit assoupi pour le lancer dans un début de réflexion. Je te fais donc part de ma solution, en attendant ton approbation pour vérifier sa validité :
Je te fais part du cheminement de mon raisonnement, peut-être assez peu académique, mais qui m'a permis de trouver une solution en environ une demi heure rédaction non-comprise :
J'ai tout d'abord commencé par me poser la question suivante : quelles conditions doivent êtres réunies pour qu'un interrupteur soit allumé? Assez rapidement, je déduis que, pour qu'un interrupteur soit allumé, il doit avoir été actionné un nombre impair de fois, il doit donc avoir un nombre impair de diviseurs. En procédant à quelques calculs rapides, je me rends compte que c'est le cas des nombres : 1, 4, 9, 16 etc... Il s'agit de carrées parfaits, la solution s'imposait à moi, encore fallait-il la démontrer...
J'ai donc cherché une méthode pour déterminer le nombre de diviseurs qu'un nombre pouvait avoir, faisant appel mes souvenirs de 3e. J'ai donc utilisé la décomposition en facteurs premiers et trouvé une méthode générale pour trouver le nombre de diviseurs d'un nombre en utilisant un raisonnement par induction, c'est à dire comme tu le sais sûrement que je suis parti du particulier vers le général. J'ai alors utilisé le nombre 2007 que j'ai décomposé en facteurs premiers cela donne : 2007 = 9 * 223 = 3² * 223. A partir de la, j'ai cherché le nombre de diviseurs que pouvait avoir 2007. 3² a pour diviseurs 1, 3 et son carré, et 223, nombre premier, a pour diviseurs un et lui-même. Donc, si on considère n le nombre de diviseurs, n(2007) = nombre de diviseurs de 3² *nombre de diviseurs de 223 = 3*2 = 6. (2007 n'est donc pas allumé, ce qui valide d'ailleurs mon hypothèse départ puisqu'il ne s'agit pas d'un carré parfait). Je déduis alors que le nombre de diviseurs est n = (exposant 1 +1)* (exposant 2 + 1)*...(exposant k +1).
Puis, j'ai cherché quelles étaient les conditions pour que le produit (exposant 1 +1)* (exposant 2 + 2)*...(exposant k +1) soit impair. Pour qu'un produit soit impair, il faut que tous ses termes le soient et , sachant que l'on ajoutait un a chaque terme, j'en ai déduit que tous les exposants devaient être pairs. On peut donc écrire n sous la forme :
Les exposants sont donc tous de la forme 2n. Si l'on a on nombre décomposé en facteurs premiers de cette facon:
x = a^2k * b^2m * c^2n... on peu alors factoriser les puissances : x = (a^k * b^m * c^n ...)². Le nombre doit donc bien être un carré parfait.
Il nous reste alors une dernière chose à faire, calculer le nombre de carrés parfaits entre 1 et 2007. Pour cela, on calcule la racine de 2007 et on arrondit à l'unité inférieure. La racine étant de 44.8 environ, on a 44 carrés parfaits entre 1 et 2007.
On a donc 44 interrupteurs allumés.
Voila, c'est fait, j'ai cru comprendre que tu invitais au restau celui qui trouvait, j'en serais ravi (non, le quick ça compte pas, je veux un dîner romantique mon coquinou).
Bonne apres midi,
Gui
Guillaume, je te présente mes respects, tu as toute mon admiration...
